ボレル 集合。 ボレルとは

数学におけるコンパクトとは何か

ボレル 集合

ちょっと気になることはいずれも等号がつかないことである。 そのために少しの準備が必要となる。 まずは測度が0となる零集合である。 これではまた説明が循環的な感じがするだろうから、これまでどおり区間を使った定義も示しておこう。 すこしはましになったと思うがこれでも定義から入るとなんだか分かったような分からぬような不思議な感じがするかもしれないので、 具体的に補足しておこう。 これらは区間の外測度を当てはめれば直ちにわかる。 もっと大きくして有理数の集合を考えよう。 これを認めれば、有理数は無限だがやはり加算個であるから零集合となることが得られるが、少し驚くような結論だろう。 有理数は莫大に在るのだけれど、無理数を合せた実数の世界で見晴らせば、莫大にある有理数も点々としか散らばっていないので、 区間で覆って足し続けてもたかだかゼロになってしまうのである。 では非加算な無限集合の中に測度0の集合があるのだろうか、と訝られる向きもあろう。 その答えは有名なカントル集合が見つかっていてYesなのである。 非加算無限であっても点々としか散らばっていなければやはり測度0となりうるのである。 そのことをかんたんに紹介しておこう。 左右に3分の1の区間が二つ残る。 4 以下この操作を繰り返す。 カントル集合はすべて閉区間の結合だからボレル可測である。 ところでこのカントル集合は、3進法表示すると0と2だけで表される数字となっていることがわかっており、 2を1に変えれば2進法の数字と同型となる。 2進法の数字全体は実数と同じ濃度となるので、 カントル集合は実数とおなじ非可算(連続)であることになる。 つまり、カントル集合は非可算無限の濃度を持つが、測度はゼロであることになる。 興味をもたれれば大抵の集合論のテキストに載っているので詳細を参照されたい。 つまり、完備な空間とは任意の零集合が集合族に含まれていれば、その部分集合もやはり含まれていることが保証できる空間をいう。 なぜ空間の完備性が問われるかというと、例えば、測度0の集合を確率0の事象として考えてみよう。 もし確率0の事象があるならば、その部分集合の確率も0であって欲しいとおもうだろう。 区間を使って求めているのだから、任意の零集合はルベーグ可測集合に含まれていることはよいだろうか。 完備でないところに不等号が生じるのだが、ボレル集合体でないルベーグ可測集合の反例をあげることは、 前項で触れたように、べき集合からルベーグ非可測な集合を探すときと同様にかなりやっかいである。 絞り込む中で零集合が一部脱落しているのである。 常にこの条件式が満足される。 ということはルベーグ可測集合は当然ながらたいていの零集合を含んでいる。 しかしボレル集合体は絞りに絞ったために零集合で含まれないものが生じて、この差がボレル集合体とルベーグ可測集合の不等号を生み出しているのである。 結果として、われわれの組み立てているレベルの議論ではほとんど問題がないと思うだろう。 まさにそのとおりだと同感する。

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ボレル集合

ボレル 集合

動機 [ ] の上に測度が定められるとき、その測度が空間の位相と何らかの意味で両立するような、よい測度の概念はあるかというのがよくある問題意識である。 その位相空間の上の測度を定義することは一つの方法であるが、これには一般にいくつか問題があって、例えばそのような測度にはが上手く定義できるとは限らない。 あるいは、測度論をに制限して考え、測度として(いくつかの文献ではラドン測度の定義に採用されている)付きの空間上の正値に対応するものだけを考える方法もある。 こうすれば病的な問題を孕まないよい理論が得られるが、そのままでは局所コンパクトでない空間に対して適用できない。 ラドン測度の理論は局所コンパクト空間のよくあるよい性質のほとんどを有しているが、任意のハウスドルフ空間に適用することができる。 ラドン測度の定義の考え方は、正値汎関数に対応する局所コンパクト空間上の測度を特徴付ける何らかの性質を見つけることであり、それらの性質を勝手なハウスドルフ空間上のラドン測度の定義として利用することにある。 諸定義 [ ] 以下、 m はハウスドルフ空間 X 上のボレル集合の成す完全加法族上の測度とする。 測度 m が 内部正則 inner regular 若しくは 緊密 tight であるとは、任意のボレル集合 B の測度 m B が B に含まれるコンパクト集合 K の測度 m K のとして得られるときに言う。 測度 m が 外部正則 outer regular であるとは、任意のボレル集合 B の測度 m B が B を含む開集合 U の測度 m U のとして得られるときに言う。 測度 m が 局所有限 locally finite であるとは、各点が測度有限なる近傍を持つときに言う。 内部正則かつ局所有限であるような測度 m を ラドン測度と呼ぶ。 注: ラドン測度の理論をハウスドルフでない空間へ拡張することは可能である。 それには本質的に上で用いた「コンパクト」をすべて「コンパクト閉」に取り替えればよいが、しかしこのように拡張することに応用の余地はそれほど無いと思われる。 局所コンパクト空間上のラドン測度 [ ] 下敷きとなる測度空間がであるとき、ラドン測度は付き全体の成す空間上のの言葉で定義することができる。 これにより、測度と積分の理論をを用いて展開することができる。 これはブルバキ および一定数の文献に見られるやり方である。 測度 [ ] 以下、 X は局所コンパクトな位相空間を表すものとする。 X 上のコンパクト台付き実数値連続関数の全体は K X を成し、これに自然なを入れることができる。 実際、 K X は台がコンパクト集合 K に含まれる連続関数の成す部分空間 K X, K の合併であって、各空間 K X, K はが入ってになるが、位相空間の合併というのは位相空間のの特別な場合であって、然るに空間 K X は空間族 K X, K から誘導される帰納極限位相が入るのである。 とも同値である。 逆に、によって、 K X 上の各 正値線型形式からラドン測度に関する積分が生じるから、従ってそれは K X 上の 連続正値線型形式である。 実数値ラドン測度は K X 上の(正値とは限らない)「任意の」連続線型形式として定義される(これはちょうど二つのラドン測度の差になっている)。 これは実数値ラドン測度の全体と K X のとの同一視を与える。 例えば、sin x dx は実数値ラドン測度になるが、少なくとも一方が有限な二つの測度の差として書くことはできないから、符号付測度に拡張することさえできない。 いくつかの文献では(正値)ラドン測度を K X 上の正値線型形式として定義する古いやり方が用いられる(, , 等を参照)。 この設定では、上で述べた意味でのラドン測度を「正値測度」と呼び、上記の意味での実数値ラドン測度を「(実)測度」と呼ぶ用語法を用いるが普通である。 積分 [ ] 局所コンパクト空間上の測度論を関数解析の観点から完全に構築するには、測度(積分)をコンパクト台付き連続関数から拡張する必要がある。 これにはいくつかの段階を踏んで、任意の実または複素数値関数に対して拡張を行う。 絶対値の上積分は F 上のを定め、その半ノルムの誘導する位相に関して F はになる。 集合のの積分が存在すれば、それをその集合の測度と定める。 このような段階を踏んで得られた理論が、ラドン測度を X 上の各に数を割り当てる関数として定義することから始めて得られる理論と一致することを確認することができる。 R 上のをこのように関数解析的な構成によって導入する方法がいくつかある。 一つは、やコンパクト台付き連続関数に対する(あるいは初等的な積分の定義に対するどのような積分についても)のような初等的な積分に依拠するものである。 それら初等的な積分によって定義される、先ほど述べた意味での測度は、ちょうどルベーグ積分になる。 例 [ ] ラドン測度の例には以下のようなものが挙げられる。 ユークリッド空間上の• 任意の上の• 任意の位相空間上の• R n にボレル位相とボレル集合族を考えた場合の• 任意の上のの成す完全加法族の上の。 この例は先の例の一般化であるばかりでなく、局所コンパクト空間上の多くの測度を含み、例えば区間 [0, 1] 上の実数値連続関数全体の成す集合上のなどはこれにあたる。 以下はラドン測度でないものの例である。 ユークリッド空間上の。 これは局所有限でない。 以下の全体の成す空間にを入れたものはコンパクトな位相空間になる。 この空間の測度を、非可算閉集合を含む集合で 1 となりそれ以外では 0 であるものと定めると、これはボレル測度になるがラドンではない。 この距離空間上の標準ルベーグ測度は、内部正則でなく、コンパクト集合は高々可算であるから、ラドン測度にならない。 この測度 M は外部正則かつ局所有限で、さらに開集合に対しては内部正則になる。 これはコンパクト開集合上で m に一致し、また m はコンパクト集合上で M と一致するような唯一の内部正則測度として M から再現することができる。 上では、任意のラドン測度が緩増加である。 ラドン空間 [ ] 詳細は「」を参照 空間が ラドン空間であるとは、任意の有限ボレル測度がラドン測度であるときにいう。 また、 強ラドン空間であるとは、任意の局所有限ボレル測度がラドン測度となるときにいう。 任意のは強ラドンであり、さらにその任意のラドン測度が緩増加になる。 双対性 [ ] 局所コンパクトハウスドルフ空間の上で、ラドン測度はコンパクト台付き連続関数全体の成す空間上の正値線型汎関数に対応する。 この性質がラドン測度を定義する主な動機となったことを鑑みれば、これは別に驚くことではない。 これはある種の応用において障害となる。 他方、 X がコンパクト距離空間ならば、 P X はに関してコンパクト距離空間となる。 ラドン距離に関する測度の収束を、弱収束に対照するものという意味で 強収束と呼ぶことがある。 参考文献 [ ]• 2004 , Integration I, ,. ブルバキの用語法は独特で、正値ラドン測度をブルバキでは「正値測度」といい、「測度」は(本質的に)二つのラドン測度の差を指し、必ずしもにはならない。 1970 , Treatise on analysis, 2, Academic Press デュドネも「測度」はブルバキの語法を採用し、ブルバキよりも少し使いやすい扱いを含む。 Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl 1965 , Real and abstract analysis, Springer-Verlag. 1974 , Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures, Oxford University Press, 外部リンク [ ]• (英語)• A Minlos 2001 , , in Hazewinkel, Michiel, , , ,.

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「微分積分学」1.7 ハイネ=ボレルの被覆定理│~いぷしろん*~数学院

ボレル 集合

定義:ボレル集合族 おおよその意味: R 1 および R n の。 引用集 鈴木・山田『 』 p. R n のボレル集合族 : 「 R n のすべての区間を含む 」 柳川『 』 p. R のボレル集合族 : 「 R 上の区間 a,b ] 全体からなる集合を含む が存在する。 この集合族をボレル集合族といい、 であらわす。 」 野田・宮岡『 』 p p. 」 「 I n 」: このような区間の全体を I n と記す。 4 によって、 R n において、 I n を含む が存在するが、これをボレル集合族、ボレル集合体、ボレル代数などとい によってあらわす。 「ボレル集合 Borel set 」: に属す集合はボレル集合 Borel set という。 開区間、閉区間、 n 次元球、 1 点のみからなる集合、可算個の点からなる集合などは ボレル集合である。 11-15. 定義:ボレル集合体 p. 」 補題 2. 3 pp. 13-14 「 E を距離空間とする。 このとき、 E の開部分集合、閉部分集合、コンパクト部分集合、可算集合、有限集合は すべて E のボレル部分集合である。 」 証明: 定義:d次元ボレル集合体 pp. 14-15 「特に重要なのは E が d 次元ユークリッド空間 R d の場合である。 上の R d 上のボレル集合体 B R d を簡単のため B d と書き、 d 次元ボレル集合体、 また B d に属する R d の部分集合を d 次元ボレル集合という」 補題 2. 4 p. 野田・宮岡『 』 p15. そんな実数値集合関数のこと。 定理 1 : を とする。 野田・宮岡『 』 p15. 定理 2: を とする。 逆も成り立つことは容易にわかる。 11-12 にでている証明の 省略された部分を自力で埋めてみた。 14-15 、鈴木・山田『 』での、確率変数の定義とその必要十分条件となる上記定理。 しかし、柳川『 』 pp. 11-13. と佐藤『 』 pp. 34-37. では、定理と定義が逆になっている。 定理:確率変数の関数も確率変数 X を 上の確率変数とする。 (証明) Y が を満たすことを示せばよい。 (参考文献 野田・宮岡『 』 p p. 15-16 は、一次関数のケースのみ。 ボレル集合の知識不要。 24-25 はきわめて有用。 柳川堯『 』近代科学社、 1990, pp. 13-14. は、確率変数の関数が確率変数になる条件を、一般的に論じている。 ボレル集合の知識が必要。 佐藤『 』 pp. 38-39. ( reference ) 文献 1. 『岩波数学辞典(第三版)』項目 47C p. 128 , 225B. 626-627 文献 2. 佐藤坦『 』共立出版、 1994 、 pp. 34-44. 文献 3. 鈴木武・山田作太郎『 』内田老鶴圃、 1998 年、 pp. 21-22。 文献 4. 矢野・田代『 』裳華房、 1993 年、 p. 150-155. 文献 5. 野田一雄・宮岡悦良『 』共立出版、 1992 年、 p p. 3-4, pp. 14-15, pp. 24-25。 文献 6. 柳川堯『 』近代科学社、 1990, pp. 11-14.

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